Himmelsmechanik: Koordinatensysteme

Die Himmelsmechanik ist ein wichtiges Teilgebiet der Astronomie und beschreibt die Bewegung der Objekte am Himmel und war bis zum Ende des 19. Jahrhundert das wichtigste Teilgebiet innerhalb der Astronomie. Auch heute ist sie noch das wichtigste Werkzeug um zum Beispiel Satellitenbahnen vorauszuberechnen und zu planen. In dieser kleinen Serie werde ich nun in den nächsten Wochen versuchen, Euch die Himmelsmechanik etwas näher zu bringen. Beginnen werde ich im ersten Teil mit den astronomischen Koordinatensystemen.

Der Anfang: Kugelkoordinaten

Um überhaupt ein Objekt zu finden, muss man sich am Himmel orientieren. Ein Koordinatensystem ist daher ein sehr wichtiges Werkzeug eines jeden Hobbyastronoms. Basis der folgenden Koordinatensystemen sind die Kugelkoordinaten. Es handelt sich genauer um sphärische Polarkoordinaten, weil für die Bestimmung von Objekten am Himmel die Entfernung nicht benötigt wird. Auf der Erde gibt es die Längen – und Breitenkreise. Der Großkreis der der durch den Südpunkt läuft ist der Meridian. Der obere Pol ist der Zenit und der gegenüberliegende Pol ist der Nadir.

Definition von Winkel

Definition von Winkel und Begriffen

Ausgangspunkt für das Finden eines Objektes ist das Kennen des  Längengrades. Die Höhe über dem Horizont wird durch den Breitenwinkel \varphi beschrieben. Stellen wir uns nun eine Beobachtungslinie in Richtung des Objektes vor (grüne Linie). Diese schneidet nun die Meridianlinie (weinrot). Anschließend legt man nun eine Hilfslinie (gelbe Linie) tangential auf den Meridian. Die grüne Beobachtungslinie ist nun orthogonal zu dieser gelben Tagentenlinie. Wir haben nun den Breitengrad ermittelt. Allerdings besitzt unsere Erde keine perfekte Kugelform sondern ist ein Ellipsoid, wie die folgende Abbildung der Potsdamer Kartoffel sehr deutlich zeigt.

Die Potsdamer Schwerekartoffel ist ein Beispiel dafür, dass unsere Erde nicht rund ist.

Die Potsdamer Schwerekartoffel ist ein Beispiel dafür, dass unsere Erde nicht rund ist. © GFZ Deutsches GeoForschungsZentrum. Mit freundlicher Genehmigung.

Deshalb unterscheidet man zwischen der geodätischen Breite \varphi und der geozentrischen Breite \varphi'. Die folgende Abbildung soll nun etwas Licht im Dunkeln bringen. Die gestrichelte Linie ist der ideale Kreis und die Ellipse ist die Bezugsfläche der Erde (Geoid). Doch wie groß ist der Unterschied zwischen dem idealen Kreis und der Ellipsenlinie?

Die Erde ist nicht rund sondern besitzt eine Ellipsenform.

Die Erde ist nicht rund sondern besitzt eine Ellipsenform.

Dies lässt sich mit Hilfe der vorigen Abbildung sehr leicht nachvollziehen. Die Variable a sei der Erdradius r_{\Earth}=6378,1\,\mathrm{km} und die Variable b ist der Abstand des Erdmittelpunktes zum niedrigsten Punkt. Dieser ist geringer und beträgt b=6356,8 \,\mathrm{km}. Diese Differenz setzt man nun mit dem Erdradius ins Verhältnis:

(1)   \begin{equation*} f=\dfrac{a-b}{a} \end{equation*}

Mit der Beziehung (1) ergibt sich nun eine Abplattung von f=\frac{1}{248}. Dieser ist zwar sehr gering, hat aber schon große Auswirkung zum Finden eines Objektes. Um nun die geozentrische Breite zu bestimmen, wird die Höhe des Himmelspol über den Horizont gemessen. Anschließend hilft uns die Ellipsengleichung weiter:

(2)   \begin{equation*} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \end{equation*}

Der Tangens ist:

(3)   \begin{equation*} \mathrm{tan}\varphi=\dfrac{a^2y}{b^2x} \end{equation*}

Da aber die geozentrische Breite gesucht ist, gilt:

(4)   \begin{equation*} \mathrm{tan}\varphi'=\dfrac{y}{x} \end{equation*}

Nun setzt man dies in  Gleichung (4)  ein und stellt nach \mathrm{tan}\varphi' um:

(5)   \begin{equation*} \mathrm{tan}\varphi'=\mathrm{tan}\varphi\cdot\dfrac{a^2}{b^2} \end{equation*}

Das horizontale Koordinatensystem

Der Beobachter befindet sich im Mittelpunkt und der Horizont ist die Bezugsebene.  Beobachtet man nun ein Objekt ist der Winkel vom Horizont bis zum Objekt die Höhe h. Die senkrechte Abweichung unter dem Objekt von der Süd-Richung ist der Azimut-Winkel a. Die folgende Abbildung zeigt eine solches horizontales Koordinatensystem. Die Großkreise welcher durch die Pole geht, ist der Meridian.

Die Winkel im horizontalen Koordinatensystem

Die Winkel im horizontalen Koordinatensystem

Das Koordinatensystem ist sehr einfach zu verstehen aber es hat leider einen entschiedenen Nachteil. Die Winkel zur Beschreibung eines Objektes am Himmel für jeden Punkt auf der Erde unterschiedlich. Auch die Orte sind durch die Erdrotation zeitverändert.

Das äquatoriale Koordinatensystem

Um das eben geschilderte Problem zu beseitigen hilft man sich mit dem beweglichen, geozentrischen äquatorialen Koordinatensystem. Die Äquatorebene ist die Bezugsebene. Senkrecht zur dieser Ebene ist die Erdrotationsachse. Hier liegen die Himmelspole. Die Ebene der Umlaufbahn unserer Sonne ist die Ekliptik und ist zur Bezugsebene um \varepsilon=23,44^\circ geneigt. Dies ist die Schiefe der Ekliptik. Der Nullpunkt dieses Koordinatensystem ist der Frühlingspunkt \Aries (Widderpunkt). Der Zeitpunkt bis die Erde ihren Frühlingspunkt erreicht variiert jedoch, was auf die Präzession zurückzuführen ist. Dazu nächste Woche mehr. Der Frühlingspunkt läuft mit den Objekten mit.

Äquatorial_rotierend

Geozentrisches äquatoriales Koordinatensystem

Folgende Winkel lassen sich nun definieren:

Der Winkel \alpha ist die Rektaszension (grau) welche auch RA abgekürzt wird. Dieser Winkel ist auf dem Himmelsäquator bezogen  und ist der Winkel zwischen Frühlingspunkt und auf den Längenkreis des Objektes. Der Winkel wird als Zeitmaß dargestellt:

(6)   \begin{align*} 24^h&=360^\circ\\ 1^h&=15^\circ\\ 1^m&=15'\\ 1^s&=15''\\ \end{align*}

und

(7)   \begin{align*} 1^\circ&=4^m\\ 1'&=4^s\\ 1''&=0,07^s\\ \end{align*}

Der Winkel \delta (grün) ist die Deklination und ist der Höhenwinkel bezüglich des Himmelsäquators. Dieser wird in Grad angegeben. Der Winkel \lambda (blau) ist die ekliptikale Länge und beschreibt die Ortsveränderung der Sonne. Diese wird ebenfalls in Grad angegeben. Beim ortsfesten äquatorialen Koordinatensystem wird die Rektaszension durch den Stundenwinkel t ersetzt und beschreibt die Position bezüglich des Beobachtungsortes. Dieser wird, wie die Rektaszension, als Zeitmaß angegeben:

(8)   \begin{equation*} t=\Theta-\alpha \end{equation*}

Die Sternzeit \Theta beschreibt den Stundenwinkel des Frühlingspunktes.

Der Zeitraum der Wanderung der Erde zwischen Frühlingspunkt zu Frühlingspunkt (im Mittel 360°) ist das tropische Jahr und dauert 365,24220d. Der Umlauf von Perihel (sonnennächster Punkt) zu Perihel ist das anomalistischen Jahr und beträgt 365,25946d und liegt daran, dass die elliptische Umlaufbahn durch Störungen nicht raumfest ist (Dazu im nächsten Teil dieser Serie). Das siderisches  Jahr ist die Zeit bis ein Stern wieder an der gleichen Position steht und beträgt 365,25636d.

Transformationen von Winkeleinheiten

Manchmal ist es nötig, die Rektaszension für Korrekturberechnungen (dazu im 2. Teil dieser Serie mehr) in Grad und umgekehrt umzurechnen. Für die Umrechung in Grad gilt:

(9)   \begin{equation*} \alpha'=\dfrac{h\cdot360}{24}+\dfrac{m\cdot360}{24\cdot60}+\dfrac{s\cdot360}{24\cdot3600}\,[^\circ] \end{equation*}

Die Umrechnung ins Zeitmaß:

(10)   \begin{align*} \ \alpha'\cdot24\,\mathrm{mod}\,360&=h\,\mathrm{Rest\,}x\\ x\cdot60\,\mathrm{mod}\,360&=m\,\mathrm{Rest\,}y\\ y\cdot60\,\mathrm{mod}\,360&=s\\ \end{align*}

Für die Deklination gilt folgende Umrechnung:

(11)   \begin{equation*} \delta'=g+\dfrac{m}{60}+\dfrac{s}{3600}\,[^\circ] \end{equation*}

Die Umrechnung in Grad/Minute/Sekunde ist etwas komplizierter:

(12)   \begin{align*} g  &=\lfloor\delta'\rfloor\\ m'&=60(\lfloor \delta'\rfloor-g )\\ m  &=\lfloor m'\rfloor\\ s''&=60(\lfloor m'\rfloor-m )\\ s \ &=\lfloor s''\rfloor\\ \end{align*}

Dabei gilt in (12) folgende Definition: (\lfloor \delta' \rfloor,\lfloor m' \rfloor,\lfloor s''\rfloor=k):=\max\left\{ k\in\mathbb{Z}|k\leq\left(g,m,s\right)\right\}, d.h. es werden nur die Werte vor den Komma betrachtet welche kleiner als seine Zahl mit Komma und diese ist immer stets eine ganze Zahl.

Ein Zahlenbeispiel mit den Koordinaten von Sirius

Schauen wir uns mal die Koordinaten von Sirius vom 11.02.2000 um 20:00 Uhr (JD2000.0) etwas genauer an:

    \begin{align*} \alpha&=6^{\mathrm{h}}45^{\mathrm{m}}9^{\mathrm{s}} \\ \delta&=-16^\circ\,42'\,59'' \end{align*}

Als erstes transformieren wir den Rektaszensionswinkel vom Stundenmaß ins Gradmaß. Dazu verwenden wir die Gleichung (9):

\alpha'=\dfrac{6\cdot360}{24}+\dfrac{45\cdot360}{24\cdot60}+\dfrac{9\cdot360}{24\cdot3600}=101,2875^\circ

Nun transformieren wir den Winkel \alpha' wieder mit Hilfe von Gleichung (10) wieder ins Zeitmaß:

    \begin{align*} 101,2875\cdot24\,\mathrm{mod}\,360&=6\,\mathrm{Rest\,}270,9\\ 270,9\cdot60\,\mathrm{mod}\,360&=45\,\mathrm{Rest\,}54\\ 54\cdot60\,\mathrm{mod}\,360&=9\\ \end{align*}

Jetzt transformieren wir den Deklinationswinkel \delta ins Gradmaß. Dazu verwenden wir die Gleichung (11). Um die Definition in (12) nicht zu verletzten, multiplizieren wir den Winkel mit (-1):

\delta'=16+\dfrac{42}{60}+\dfrac{59}{3600}=16,71639^\circ

Auch diesen Winkel transformieren wir wieder mit Hilfe der Gleichung (12) zurück:

    \begin{align*} \delta'&=16,71639^\circ\\ g&=16^\circ\\ m'&=60(16,71639-16)=42,9834\\ m&=42'\\ s''&=60(42,9834-42)=59,004\\ s&=59''\\ \end{align*}

Da jedoch ein negativer Winkel angegeben ist, muss dieser wieder mit (-1) multipliziert werden.

Transformationsgleichungen

Der Beobachter hat mit seinem Teleskop zur einer bestimmten Zeit ein Objekt gefunden. Schnell notiert er sich den Azimutwinkel a und die Höhe h. Doch wie berechnet er sich nun die Koordinaten, welche zur Katalogisierung führen? Nun, dazu betrachten wir uns ein spährisches Dreieck einer Kugeloberfläche:

links: sphärisches Dreieck, rechts: astronomisches Dreieck

links: sphärisches Dreieck, rechts: astronomisches Dreieck

Nun hilft uns die sphärische Trigonometrie weiter. Der Sinussatz ist beschrieben durch:

(13)   \begin{equation*} \dfrac{\sin a}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin b}{\sin\beta}=\dfrac{\sin c}{\sin\gamma} \end{equation*}

und der Cosinussatz darf auch nicht fehlen:

(14)   \begin{equation*} \cos a=\cos b\cdot\cos c+\sin b\cdot\sin c\cdot\cos\alpha \end{equation*}

(15)   \begin{equation*} \cos b=\cos a\cdot\cos c+\sin a\cdot\sin c\cdot\cos\beta \end{equation*}

(16)   \begin{equation*} \cos c=\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot\sin b\cdot\cos\gamma \end{equation*}

Nun überführt man das spährische Dreieck in ein astronomisches Dreieck (nautisches Dreieck). Dieses entsteht durch Überlagerung des horizontalen und des äquatorialen Systems (rechts in der Abbildung). Im astronomischen Dreieck gibt es nun drei Punkte und zwar den Pol P, den Zenit Z, den Pol z und das beobachtete Objekt O. Es gilt nun folgender Zusammenhang:

(17)   \begin{equation*}\overline{ZP}=90^\circ-\varphi \end{equation*}

(18)   \begin{equation*}\overline{ZO}=90^\circ-h \end{equation*}

(19)   \begin{equation*}\overline{PO}=90^\circ-\delta \end{equation*}

(20)   \begin{equation*}z=180^\circ-a \end{equation*}

Nun kommen die sphärischen Trigonometriegleichungen wieder zum Einsatz:

(21)   \begin{equation*}\sin z\cdot\sin a=\cos\delta\cdot\sin t \end{equation*}

(22)   \begin{equation*}\cos z=\sin\varphi\cdot\sin\delta+\cos\varphi\cdot\cos\delta\cdot\cos t \end{equation*}

(23)   \begin{equation*}-\sin z\cdot\cos a=\cos\varphi\cdot\sin\delta-\sin\varphi\cdot\cos\delta\cdot\cos t \end{equation*}

Daraus ergibt sich:

(24)   \begin{equation*}\cos\delta\cdot\sin t=\sin z\cdot\sin a \end{equation*}

(25)   \begin{equation*}\sin\delta=\sin\varphi\cdot\cos z-\cos\varphi\cdot\sin z\cdot\cos a \end{equation*}

(26)   \begin{equation*}\cos\delta\cdot\cos t=\cos\varphi\cdot\cos z+\sin\varphi\cdot\cos a \cdot \sin z \end{equation*}

Nächste Woche

Nächste Woche geht es weiter mit den Störungen des Koordinatensystems wie z.B. die Präzession oder Nutation und die Entfernungsmessung mit Hilfe der Parallaxe. Im übernächsten Teil werden die Bahnelemente mit Hilfe der Keplergleichungen hergeleitet und erläutert. Zum Schluss dieser Serie werde ich ein sehr interessantes Gebilde vorstellen und zwar die Herleitung der Zeitgleichung und ihre Berechnung. Seid also gespannt 😉

Weiterführende Links

GFZ-Helmholtz-Zentrum Potsdam
Welche Bücher sind interessant für die Astronomie?
Die Geschwindigkeit der ISS

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