Die Geschwindigkeit der ISS

Internationale Raumstation. Bild: DLR, CC-BY 3.0

Internationale Raumstation. Bild: DLR, CC-BY 3.0

Manch einer fragt sich, warum die ISS so schnell fliegt und warum man auf der ISS schwerelos ist. Denn auch in 400 km Höhe wirkt die Gravitation. Die Antwort liefern u.a. die kosmischen Geschwindigkeiten. Was das ist und wie man diese berechnet, dass möchte ich jetzt versuchen, euch etwas näher zu bringen.

Der Einstieg: Das Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz nach Newton ist neben die Entdeckung seiner Axiome seine größte Errungenschaften. Doch schauen wir uns dieses Gesetz mal genauer an. Betrachten wir zwei Körper mit den Massen m_{1} und m_{2} die sich im Abstand r befinden. Es wirken zwischen den blauen Körper 1 und den roten Körper 2 die jeweiligen Anziehungskräfte. Die folgende Abbildung soll dies verdeutlichen:

Das Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz

Allgemein betrachtet, wirken also zwischen zwei beliebigen Körper der Masse m_{1} und m_{2} mit der Gravitationskraft F_{1} und F_{2} in Richtung einer gedachten Verbindungslinie ihrer Schwerkraft. Also ist die Gravitationskraft proportional dem Produkt m_{1} und m_{2} und umgekehrt proportional zum Quadrates des Abstandes r:

(1)   \begin{equation*} F=\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{r^{2}} \end{equation*}

Die Gravitationskonstante G ist ein Proportionalitätsfaktor und eine Konstante die man sich als Hobbyastronom merken sollte:

G=6,673\cdot10^{-11}\,\dfrac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm {kgs}^{2}}

Erste kosmische Geschwindigkeit

Angenommen wir schießen nun mit einer Pistole eine Kugel tangential zum Erdboden ab und vernachlässigen hierbei die Reibung. Die Kugel fliegt nicht ewig weiter sondern es wirkt die Gravitationskraft auf diese Kugel, was letztendlich dazu führt, das diese auf den Boden fällt. Es ist aber so, dass erst ab einer gewissen Geschwindigkeit nicht mehr von der Gravitationskraft  angezogen wird, sondern es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft und der Zentripetalkraft F_{\mathrm{Z}}=\frac{mv^{2}}{r} bei einer Kreisbahn ein. Das ist übrigens auch der Grund, warum man auf der internationale Raumstation schwerelos ist. Untersuchen wir jetzt mal, wie groß die Geschwindigkeit sein muss, damit die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft  gleichwertig sind. Es gilt:

(2)   \begin{equation*} F_{\mathrm{Z}}=F_{\mathrm{G}} \end{equation*}

Für F_{\mathrm{Z}}=\frac{mv_{1}^{2}}{r_{\mathrm\Earth}}  und die eben erwähnte Gravitationskraft F_{\mathrm{G}} gilt nun:

(3)   \begin{equation*} \dfrac{mv_{1}^{2}}{r_{\mathrm\Earth}}=\dfrac{GmM_{\mathrm\Earth}}{r_{\mathrm\Earth}^{2}} \end{equation*}

Die Masse von Satelliten oder Raumstationen sind verschwindend gering und werden nicht mit berücksichtigt, weil diese keinen Einfluss auf das Endergebnis haben. Kürzt man nun die Massen aus der Gleichung (3) heraus, kann man v_{1} isolieren:

(4)   \begin{equation*} v_{1}=\sqrt{\dfrac{GM_{\mathrm\Earth}}{r_{\mathrm\Earth}}} \end{equation*}

Setzten wir nun die Masse und den Radius in (4) ein (auch die Daten sollte ein Hobbyastronom parat haben 😉 ):

Masse der Erde: M_{\mathrm\Earth}=5,98\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}
Radius der Erde: r_{\mathrm\Earth}=6,37\cdot10^{6}\,\mathrm{m}

Mit der Gravitationskonstante G errechnet sich nach unserer Gleichung eine Geschwindigkeit von v_{\mathrm{1}}=7,91\cdot10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}

Dies gilt aber auf der Erdoberfläche. Um nun aber die Geschwindigkeit, z.B. der ISS zu berechnen, muss die Höhe mit betrachtet werden. Sie kreist aktuell (23.02.2015) in einer Höhe von h_{\mathrm{ISS}}=413\,\mathrm{km} um die Erde. Also muss zum Erdradius r_{\mathrm\Earth} die Höhe addiert werden:

(5)   \begin{equation*} v_{\mathrm{ISS}}=\sqrt{\dfrac{GM_{\mathrm\Earth}}{r_{\mathrm\Earth}+h_{\mathrm{ISS}}}} \end{equation*}

Es errechnet sich eine Geschwindigkeit von v_{\mathrm{ISS}}=7,67\cdot10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}. Vergleicht man nun eine Webseite mit den aktuellen Daten, so stellt man fest, das diese Rechnung schon sehr nahe kommt. Abweichungen sind lediglich Rundungsfehler.

Aktuelle Position der ISS am 23.02.2015, Bild: Google Maps

Aktuelle Position der ISS am 23.02.2015, Bild: http://iss.de.astroviewer.net/

 

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Nun wird es etwas komplizierter. Wenn man nun eine Raumsonde z.B. zum Mars senden möchte, muss die Geschwindigkeit größer als die erste kosmische Geschwindigkeit sein um das Gravitationsfeld zu verlassen. Dabei wird ein Teil der kinetischen Energie in potentielle Energie umgewandelt. Wir betrachten nun, welche Geschwindigkeit man benötigt, um in eine offene Bahn einzulenken, wo eine Rückkehr ausgeschlossen ist. Hierbei wird die kinetische Energie E=\frac{1}{2}mv^{2} mit der Gravitationskraft gleichgesetzt:

(6)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{GmM_\mathrm\Earth}{r_{\mathrm\Earth}} \end{equation*}

Auch hier isolieren wir v_{2}. Es stellt sich heraus, das die Geschwindigkeit um den Faktor \sqrt{2} gößer ist. Für die Erde ist die Fluchtgeschwindigkeit also:

(7)   \begin{equation*} v_{\mathrm{2}}=\sqrt{2}\cdot v_{1}\,\mathrm{\dfrac{m}{\mathrm{s}}} \end{equation*}

Es gibt noch mehrere kosmische Geschwindigkeiten, und zwar die dritte kosmische Geschwindigkeit. Hierbei wird die Masse und der Radius der Erde in der Formel der zweiten kosmischen Geschwindigkeit mit der Masse und dem Radius mit der Sonne  ausgetauscht:

(8)   \begin{equation*} v_{\Earth,\Sun}=42,1\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{equation*}

Aber das gilt nur, wenn man eine Rakete im Abstand Erde – Sonne startet. Dies ist aber im Regelfall nicht so. Man wendet hier einen Trick an. Man nutzt die Bahngeschwindigkeit der Erde aus. Die Rakete wird tangential der Erdrotation gestartet. Diese beträgt v_{\mathrm{Bahn,\Earth}}=29,8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}. Subtrahiert man diese nun mit v_{3}, so erhält man v_{\mathrm\Sun}=12,3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}. Das ist die Geschwindigkeit, welche man benötigt, um von der Sonne zu fliegen. Man benötigt zusätzlich noch die Fluchtgeschwindigkeit der Erde. Als Ergebnis bekommen wir:

(9)   \begin{equation*} v_3 = \sqrt{\Delta v^2+v_2^2} = 16{,}5\,\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}} \end{equation*}

Es gibt auch noch die vierte kosmische Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit ist die Fluchtgeschwindigkeit unserer Heimatgalaxie, der Milchstraße.

Fazit

Wie ihr sehen könnt, ist es gar nicht so schwer, erste Berechnungen zur Geschwindigkeiten durchzuführen und nachvollziehen, warum z.B. auf der ISS mit genau dieser Geschwindigkeit fliegt und warum dort Schwerelosigkeit herrscht. Das liegt einzig daran, dass sich die Zentripetalkraft und Gravitationskraft gleichwertig sind und sich aufheben. Denn, eins sollte man sich bewusst sein, auch in 400 km Höhe wirkt die Gravitation unserer Erde. Auch sinkt die ISS ständig und muss nachkorrigiert werden. Das liegt daran, dass auch in dieser Höhe Luftreibung herrscht. Die Erdatmosphäre ist zwar sehr dünn, dennoch hat diese technische Auswirkungen. Aber das ist ein anderes Thema. 😉

Weiterführende Links innerhalb des Blogs

Einführung in die Himmelsmechanik: Koordinatensysteme
Einführung in die Himmelsmechanik: Störungen der Koordinatensysteme
Einführung in die Himmelsmechanik: Die Keplerschen Gesetze
Einführung in die Himmelsmechanik: Bahnelemente und Ephemeriden
Berechnung der Geschwindigkeiten im Aphel und Perihel (in der Infobox)

Externe Links

Aktuelle Höhe der Internationale Raumstation

 

 

 

4 Responses to Die Geschwindigkeit der ISS

  1. Rainer sagt:

    Sehr interessant, vielen Dank.
    Eine Frage: mit welchem Antrieb wird denn sichergestellt, dass 28.000km/h gehalten werden können?

  2. Sebastian sagt:

    In Gleichung (6) steht auf der linken Seite eine Energie mit der Einheit [kg * m^2/s^2] und auf der rechten Seite eine Kraft mit [kg * m/s^2]. Wie können die beiden gleichgesetzt werden?

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